怎么判断周期函数和它的周期性，怎么判断周期函数和最小正周期

　　怎么判断周期函数和它的周期性，怎么判断周期函数和最小正周期是判断f（x）的定义域是否有界；根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数的。

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怎么判断周期函数和它的周期性，怎么判断周期函数和最小正周期

　　判断f（x）的定义域是否有界；

　　根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

周期函数判定方法

　　周期函数的判定方法分为以下几步：

　　（1）判断f（x）的定义域是否有界。

　　例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。

　　（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

　　例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。

　　（3）一般用反证法证明。

　　（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。

　　例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。

　　证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f（x）是非周期函数。

　　例：证f（x）= ax+b是非周期函数。

　　证：假设f（x）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T）= f（x），当x=0时，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）与f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函数。

周期函数怎么判断周期

　　周期函数定理，总结一共分一下几个类型。

　　定理1

　　若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

　　[2]

　　证：

　　∵T*是f(X）的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，

　　∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

　　假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T*）是K f(X)+C的周期，则对T’（0<T’<T*）是K f(X)+C的周期，

　　有K f(X+T’）+C=K f(X) +C K[f(X+T’）- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’）- f(X)=0，∴f(X+T’）= f(X），

　　∴T’是f(X）的周期，与T*是f(X）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

　　同理可拍行证1/ f(X）是集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

　　定理2

　　若f(x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

　　证：

　　【先证f(ax+b)的周期】

　　∵T*是f(X）的周期，∴f(x±T*)=f(x)，有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f(ax±T*+b)=f(ax+b)，此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a(x+T*/a)+b]=f(ax+b)∴T*/a是f（ax+b）的周期。

　　再证是f（ax+b）的最小正周期

　　假设存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，

　　则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）

　　∴T’是f(x）的周期，但 T’<T*这与T*是f(x）的最小正周期矛盾。

　　∴不存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，即f(ax+b)的最小正余者周期为T*/ a

　　定理3

　　设f(u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x）∈M，则复合函数f(g(x））是M1上的周期函数。

　　证：

　　设T是u=g(x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))

　　∴=f(g(x)）是M1上的周期函数。

　　例1

　　设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。

　　同理可得：⑴f(X)=Sin(cosx），⑵f(X)=Sin(tgx），⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0）也都是周期函数。

　　例2

　　f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。

　　例3

　　f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。

　　证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，

　　∴cos 不是周期函数。

　　由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。

　　定理4

　　设f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。

　　证：

　　设 （（p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X）是以T1和袭毁哗T2的公倍数T为周期的周期函数。

　　同理可证：f1(X) 、f2(X）是以T为周期的周期函数。

　　推论　

　　设f1(X) 、f2(X）……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

　　例1

　　f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。

　　例2

　　讨论f(X)= 的周期性

　　解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

　　5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

　　tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。

　　又 都是有理数

　　∴f(X）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。

　　同理可证：

　　⑴f(X)=cos ;

　　⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。

　　是周期函数。

　　定理5

　　设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

　　证

　　先证充分性：

　　若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x）与f2(x）的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q

　　由定理4可得f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数。

　　再证必要性（仅就f1(x）与f2(x）的差和积加以证明）。

　　⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，

　　使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+)sin = -2sin s(a2x+) sin ⑴。

　　令x= 得2cos（a1x+），则 （K∈Z）。

　　⑵

　　或 C∈Z⑶

　　又在⑴中令 2sin（a2x+）sin =-2sin =0

　　由⑷

　　由sin ⑸

　　由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。

　　由⑶、（5得）⑹

　　∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

　　⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。

　　判定方法

　　编辑

　　⑴若f(X）的定义域有界，[2]

　　例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函数。

　　⑵根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X）中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X）是周期函数，若这样的T不存在则f(X）为非周期函数。

　　例：f(X)=cosx 是非周期函数。

　　⑶一般用反证法证明。

　　（若f(X）是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X）是非周期函数）。

　　例：证f(X)=ax+b(a≠0）是非周期函数。

　　证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使true ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X）是非周期函数。

　　例：证f(X)= 是非周期函数。

　　证：假设f(X）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T)= f(X），当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X）与f(x+T)= f(X）矛盾，∴f(X）是非周期函数。

　　例：证f(X)=sinx2是非周期函数

　　证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（>0），使之true ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin(T+T)2=sin（T）2=sin2kπ=0，∴（+1）2

　　T2=Lπ（L∈Z+），∴

　　与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

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